OMC227(B)

　$b_n = n - a_{n}$ とすると， $$b_{i+1} - b_i = \begin{cases} 0 & (a_{i+1} - a_{i} = 1)\\ 2 & (a_{i+1} - a_{i} = -1) \end{cases}$$ となり，特に広義単調増加である．また，$b_1=1, b_{17}=17$ であるから，数列 $\{b_n\}$ には $1, 3, \cdots , 17$ の $9$ 種類の値が現れる．ここで，数列 $\{b_n\}$ の中に現れる $2k - 1$ の数を $c_k$ とすると，$c_k$ たちはどれも正の整数である．また，$3$ つめの条件から， $$_{c_1}\mathrm{C}_{2} + _{c_2}\mathrm{C}_{2} + \cdots + _{c_9}\mathrm{C}_{2} = 20$$ が成り立ち，$c_1 + c_2 + \cdots + c_9 = 17$ も成り立つ．これをみたすのは，ある $1$ 以上 $9$ 以下の相異なる整数 $s,t$ が存在して $c_s = c_t = 5$ となり，それ以外については $1$ となる場合のみである．数列 $\{c_k\}$ が定まれば数列 $\{a_n\}$ も一意に定まるので，求める答えは ${}_{9}\mathrm{C}_{2} = \mathbf{36}$ である．