OMC225(C)

　求めるべきは，$100 - 4x \lt z + 2y \lt 100 + 4x$ かつ $4x - 100 \lt 2y - z \lt 100 - 4x$ を満たす非負整数 $(x,y,z)$ の組の数である．そこで $x$ の値を固定して，条件を満たす点 $(y, z)$ の領域を $yz$ 座標平面上に図示することを考える．$4x - 100 \lt 100 - 4x$ より $0 \lt x \lt 25$ の場合のみ考えればよく，このとき点 $(y, z)$ の領域は $4$ 直線 $$z = -2y + 100 - 4x, \quad z = -2y + 100 + 4x \\ z = 2y + 100 - 4x, \quad z = 2y + 4x - 100$$ に囲まれた内部領域 (境界を除く) となり，これは $4$ 点 $$(x,0, 100 - 4x) , \ (x,50 - 2x, 0) , \ (x,2x, 100) , \ (x,50, 4x)$$ を頂点に持つ平行四辺形であることが分かる．この平行四辺形の面積は $$50 \times 100 - \left (2x \times 4x \times \cfrac{1}{2} + (50 - 2x) \times (100 - 4x) \times \cfrac{1}{2} \right ) \times 2 = 400x - 16x^{2}$$ であり，また辺上にある格子点の数は，頂点以外が $(2x - 1 + 50 - 2x - 1) \times 2 = 96$ 個，頂点が $4$ 個であるため，合わせて $100$ 個と分かる．以上より，ピックの定理から，境界を除く領域内の格子点の個数は $400x - 16x^{2} - 49$ 個と分かる．求めるべき値はこれを $1 \leq x \leq 24$ の範囲内で足し合わせた値であり，計算すると答えは $\mathbf{40424}$ 個となる．