OMC225(E) - 原始101乗根を使わない方針

　方程式 $X^{101}+2024X^{50}-2025=0$ は $X=1$ を解に持つ． $$X^{101}+2024X^{50}-2025=(X-1) \lbrace (X^{100}+\cdots+1)+2024(X^{49}+\cdots+1) \rbrace$$ であり，$X=1$ は重解ではない．ここで $\alpha_{101}=1$ とおこう．いま求めたいものは

$$\begin{aligned} \prod_{i=1}^{101} \left( \sum_{j=0}^{100}(\alpha_i)^j\right) &= \prod_{i=1}^{100} \left( \sum_{j=0}^{100}(\alpha_i)^j\right) ×\sum_{j=0}^{100}(\alpha_{101})^j\\ & = 101×\prod_{i=1}^{100}\dfrac{1-\alpha_i ^{\ 101}}{1-\alpha_i} \\ & = 101×\dfrac{\prod\limits_{i=1}^{100} (1-\alpha_i ^{\ 101})}{\prod\limits_{i=1}^{100}(1-\alpha_i)} \end{aligned}$$ と変形される．この最後の式の分母は， $$\prod_{i=1}^{100}(X-\alpha_i)=(X^{100}+\cdots+1)+2024(X^{49}+\cdots+1)$$ を用いれば，$\prod\limits_{i=1}^{100}(1-\alpha_i)=101+2024×50$ である．
　あとは多項式 $\prod\limits_{i=1}^{100} (X-\alpha_i ^{\ 101})$ を求めることができればよい．

　ここで元の方程式の指数を適当に変えて，式 　$$X+2024X^\frac{50}{101}-2025=0$$ は $\alpha_1^{\ 101} \cdots \alpha_{101}^{\ \ 101}$ を解に持つ．この方程式を適当に変形して 　$$2024^{101}X^{50}+(X-2025)^{101}=0$$ とすれば，この式は $\alpha_1^{\ 101} \cdots \alpha_{101}^{\ \ 101}$ を解に持つ多項式となる．

　残された課題は，多項式 $2024^{101}X^{50}+(X-2025)^{101}$ を $(X-1)P(X)$ の形に変形して，$P(1)$ を求めることである． $$\begin{aligned} 2024^{101}X^{50}+(X-2025)^{101} &= 2024^{101}X^{50}+\lbrace (X-1)-2024 \rbrace^{101} \\ & = 2024^{101}X^{50}+(X-1)^2Q(X)+101×2024^{100}(X-1)-2024^{101}\\ & = (X-1)^2Q(X)+101×2024^{100}(X-1)+2024^{101}(X-1)(X^{49}+\cdots+1)\\ & = (X-1) \lbrace (X-1)Q(X)+101×2024^{100}+2024^{101}(X^{49}+\cdots+1) \rbrace \end{aligned}$$ （上の式変形において，二つ目の等号では二項定理を用いた．）
　よって $P(1)=101×2024^{100}+2024^{101}×50=2024^{100}×(101+2024×50)$ となる．以上の計算から， $$\prod_{i=1}^{101} \left( \sum_{j=0}^{100}(\alpha_i)^j\right) = 101×\dfrac{\prod\limits_{i=1}^{100} (1-\alpha_i ^{\ 101})}{\prod\limits_{i=1}^{100}(1-\alpha_i)}=101×\dfrac{2024^{100}×(101+2024×50)}{101+2024×50}=101×2024^{100}$$