OMC225(E)

　$ζ$ を $1$ の原始 $101$ 乗根 $\left(= \cos \dfrac{2\pi}{101}+ i\sin\dfrac{2\pi}{101}\right)$ とおく．このとき， $$X^{100} + X^{99} + \cdots + X + 1 = (X - ζ) (X - ζ^{2}) \cdots (X - ζ^{100})$$ が成り立つ．この式を $(1)$ とする．このとき，求めるべき値は $$\prod_{i = 1}^{101} (α_{i} - ζ) (α_{i} - ζ^{2}) \cdots (α_{i} - ζ^{100})$$ となる．ここで $f(X) = X^{101} + 2024X^{50} - 2025$ とおくと，因数定理より $$f(X) = (X - α_{1}) (X - α_{2}) \cdots (X - α_{101})$$ が成り立つから，求めるべき値が $\displaystyle \prod_{i = 1}^{100} \bigl(-f(ζ^{i})\bigr) = \displaystyle \prod_{i = 1}^{100} f(ζ^{i})$ であることが分かる．$ζ^{101} = 1$ に留意すると， $$f(ζ^{i}) = 2024 \ ( {ζ^{50i}} - 1 )$$ が従うから，求めるべき値は $$\prod_{i = 1}^{100} 2024 \ ( ζ^{50i} - 1 ) = 2024^{100} \ \prod_{i = 1}^{100} (ζ^{50i} - 1) = 2024^{100} \ \prod_{i = 1}^{100} (ζ^{i} - 1)$$ となる．$(1)$ に $X = 1$ を代入することで，$\displaystyle \prod_{i = 1}^{100} (ζ^{i} - 1) = 101$ を得るから，最終的に求めるべき値は $$2024^{100} × 101 = 2^{300} × 11^{100} × 23^{100} × 101$$ となり，これが持つ正の約数の個数は $\mathbf{6141002}$ である．