OMC225(A)

　$r = \lfloor r \rfloor + \lbrace r \rbrace$ を用いて与式を変形すると， $$\begin{aligned} \dfrac{1}{\lbrace r \rbrace} + \dfrac{1}{\lfloor r \rfloor} = \dfrac{25}{4r} &\iff\dfrac{r}{\lbrace r \rbrace} + \dfrac{r}{\lfloor r \rfloor} = \dfrac{25}{4} \\ &\iff\dfrac{\lfloor r \rfloor + \lbrace r \rbrace}{\lbrace r \rbrace} + \dfrac{\lfloor r \rfloor + \lbrace r \rbrace}{\lfloor r \rfloor} = \dfrac{25}{4} \\ &\iff \dfrac{\lfloor r \rfloor}{\lbrace r \rbrace} + \dfrac{\lbrace r \rbrace}{\lfloor r \rfloor} + 2 = \dfrac{25}{4}\\ &\iff \dfrac{\lfloor r \rfloor}{\lbrace r \rbrace} + \dfrac{\lbrace r \rbrace}{\lfloor r \rfloor} = \dfrac{17}{4} \end{aligned}$$ が分かる．$\dfrac{\lfloor r \rfloor}{\lbrace r \rbrace} = t$ とすると，$t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{17}{4}$ となり，これを解くことで $t = 4, \dfrac{1}{4}$ が従う．$0 \lt \lbrace r \rbrace \lt 1$，及び $\lfloor r \rfloor$ が正整数であることを合わせて， $$(\lbrace r \rbrace, \lfloor r \rfloor) = \left (\dfrac{1}{4} \ , 1 \right), \left (\dfrac{1}{2} \ , 2 \right ), \left (\dfrac{3}{4} \ , 3 \right )$$ が分かる．よって，$r$ としてあり得る値の総和は $\dfrac{15}{2}$ となり，特に解答すべき値は $\mathbf{17}$ となる．