OMC222(C)

　$N = 119$ とおく．求めるべき値 $A$ は， $$A = \frac{\sin 46^\circ + \sin 47^\circ + \cdots + \sin 164^\circ}{\sin 1^\circ + \sin 2^\circ + \cdots + \sin 119^\circ} = \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{N} \sin \frac{(k+45)\pi}{180}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{N} \sin \frac{k\pi}{180}}$$ と表せる．$\sin$ の加法定理から $\sin \left( x+\dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}(\sin x + \cos x)$ であるので， $$A = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(1+\dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{N} \cos\frac{k\pi}{180}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{N} \sin \frac{k\pi}{180}}\right)$$

である．ここで， $\sin x = \cos \left( \dfrac{\pi}{2}-x \right)$ であることと，和積の式から， $$\begin{aligned} \dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{N} \cos \frac{k\pi}{180}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{N} \sin \frac{k\pi}{180}} &= \dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{N} \cos \frac{k\pi}{180}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{N} \cos \frac{(90-k)\pi}{180}} \\ &= \dfrac{\dfrac{1}{2}\displaystyle \sum_{k=1}^{N} \bigg(\cos \frac{k\pi}{180}+\cos \frac{(N+1-k)\pi}{180}\bigg)}{\dfrac{1}{2}\displaystyle \sum_{k=1}^{N} \bigg(\cos \frac{(90-k)\pi}{180}+\cos \frac{(k-N+89)\pi}{180}\bigg)}\\ &= \dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{N} \cos \frac{(N+1)\pi}{360}\cos \frac{(2k-N-1)\pi}{360}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{N} \cos \frac{(179-N)\pi}{360}\cos \frac{(2k-N-1)\pi}{360}} \\ &= \frac{\cos 60^\circ}{\cos 30^\circ} \\ &= \frac{1}{\sqrt3} \end{aligned}$$ となり，$A=\dfrac{\sqrt3 + 1}{\sqrt6}$ となる．このとき $$A^2 = \dfrac{\sqrt3 + 2}{3} = \dfrac{\sqrt6}{3}A + \dfrac13$$ より $$\frac{2}{3} A^2 = \left( A^2 - \frac13 \right)^2 = A^4 - \frac23 A^2 + \frac19$$ であるから，$A$ の最小多項式 $f$ は $$f(x) = x^4-\frac{4}{3}x^2+\frac{1}{9}$$ で与えられる．したがって $|f(10)| = \dfrac{88801}{9} = 9866.7\ldots$ なので，解答すべき値は $\mathbf{9866}$ である．