OMC221(E) - 公式解説の不等式(3)を導けなかった場合

　$(X, Y) = (5^j + 2^{n+1} \times 5^{n-j}, 5^j - 2^{n+1} \times 5^{n-j})$ までは省略(公式解説を参照, $j=0 \Rightarrow (n, i) = (1, 2)$ に関しては不等式 $(3)$ を使わなくても $Y^2 \lt 10^n$ から分かる)．$Y^2 \lt 10^n$ に $Y = 5^j - 2^{n+1} \times 5^{n-j}$ を代入すると $$5^{2j} - 2^{n+2} \times 5^n + 2^{2n+2} \times 5^{2n-2j} \lt 10^n\\ \Leftrightarrow 5^{2j - 1} + 2^{2n+2} \times 5^{2n-2j - 1} \lt 10^n\\ \Rightarrow 5^{2j - 1} \lt 10^n, \quad 2^{2n+2} \times 5^{2n-2j-1} \lt 10^n$$ 　得た $2$ 式について，それぞれ両辺の対数をとると， $$(2j-1)(1- \log _{10} 2) \lt n, \quad (2n+2) \log _{10} 2 + (2n-2j-1)(1 - \log _{10} 2) \lt n\\ \Leftrightarrow (2j - 1)(1 - \log _{10} 2) \lt n \lt 2j+1 - (2j+3) \log _{10} 2\\ \Rightarrow 0.698(2j-1) \lt n \lt 2j+1 - 0.301(2j+3)$$ 　これを満たす $(j, n)$ の組を昇順に並べると $$(j, n) = (1, 1), (3, 4), (4, 5), (5, 7), (6, 8), (8, 11), (9, 12), \ldots$$ 　$Y^2 \lt 10^n$ を満たすか順に調べることで，$(j, n) = (5, 7)$ が不適で $(j, n) = (9, 12)$ が $6$ 番目に小さい $X$ を与える組だと分かる．