OMC221(E)

　$X^2$ の最高位の数を取り除いてできる数を，整数 $Y$ を用い $Y^2$ とおく．また条件を順に (a),(b),(c) とする．$X\geq4$ と (b),(c) より，ある正整数 $n$ が存在して $$(X+Y)(X-Y)=2^{n+3}\times5^n\quad\cdots(1),\qquad10^n\gt Y^2\quad\cdots(2)$$ が成り立つ（このとき $n+1$ は $X^2$ の桁数と一致する）． 簡単な議論により，(1) をみたす $(X,Y)$ の組はある $i,j\ (0\leq i\leq n+1,0\leq j\leq n)$ を用いて次の形に表されるとわかる． $$(X,Y)=(2^i\times 5^j+2^{n+1-i}\times 5^{n-j},2^i\times 5^j-2^{n+1-i}\times 5^{n-j})$$

これを (2) に代入して整理すれば次が得られる ($t = 2^{2i}5^{2j}$ とおき，$t$ の二次不等式を解くことで得られる) ． $$10^n\lt 2^{2i}\times 5^{2j}\lt 4\times 10^n\quad\cdots(3)$$

また (a) より $X$ は $10$ の倍数でないため，$i=0,i=n+1,j=0,j=n$ のうち少なくとも一つが成立しなければならない．必要ならば $(i,j)$ を $(n+1-i,n-j)$ で置き換えることで $i=0$ および $j=0$ の場合のみ考えればよい．また $j=0$ の場合 (3) より$10^n\lt 2^{2i}\lt 4\times 10^n$ であり $i\leq n+1$ に注意すればこれをみたすのは $(n,i)=(1,2)$ のみだが，これは $i=n+1$ をみたしているから $i=0$ の場合に帰着される．よって結局 $i=0$ として構わない．
　(3) より$10^n\lt 5^{2j}\lt 4\times 10^n$ である．両辺の常用対数を取り $2\log_{10}2\lt 1$ に注意すれば， $$0\lt\{2(1-\log_{10}2)j\}\lt 2\log_{10}2\quad\cdots(4)$$ をみたす $j$ を考えればよい．ただし $\{x\}$ で実数 $x$ の小数部分を表す．よって，$j$ を小さい方から試すことで，$6$ 番目に小さい(4)を満たす $j$ は $9$ であることが分かるが，より一般に，$j\leq 49$ の範囲で(4)を満たす $j$ は $j\equiv 1,3,4 \pmod{5}$ であることを以下のようにして示すことができる：
　$j\le 49$ では次が成り立つ．

$$1.4j-0.196\leq 1.396j\lt 2(1-\log_{10}2)j\lt 1.398j\leq 1.4j$$

$\{1.4j\}$ のとり得る値は $0,0.2,0.4,0.6,0.8$ であることに注意すれば，$j\leq 49$ ならば次が成り立つ． $$\{1.4j-0.196\}\lt\{2(1-\log_{10}2)j\}\lt\{1.4j-0.196\}+0.196$$

$0.602\lt 2\log_{10}2\lt 0.604$ に注意すれば，$j\leq 49$ の範囲で (4) をみたす $j$ は $j\bmod{5}=1,3,4$ なる $j$ であることがわかる．
　以上より，求める値は $j = 9$ のときに得られ，このとき $n = 12$ であるから，求める値は $X=5^9+2^{13}\times 5^3={\bf 2977125}$ である．