OMC217(F) - Lagrange の未定乗数法

　高校範囲からは逸脱しますが，問題の形式から微分を想起する方向けです．
　ただ，普通に微分しようとすると，$\sqrt{y}$，$\sqrt{x^3}$ あたりが計算を厄介にしそうなので，少し工夫をしたいところです（もしかすると工夫せず求まるかもしれませんが，あまり考えていません）．

　まず，与えられた条件を次のように書き換える． $$\dfrac{1}{1+\frac{\sqrt{y}}{x}}+\dfrac{1}{1+\frac{z}{y}}+\dfrac{1}{1+\frac{\sqrt{x^3}}{z}}=1$$ 　ここで $s=\dfrac{\sqrt{y}}{x}$，$t=\dfrac{z}{y}$，$u=\dfrac{\sqrt{x^3}}{z}$ とおけば，与条件は対称的な式となる．
　一方，最大値を求めるべき変数 $z$ についても考える必要がある．$s,t,u$ の定義の式から $x, y$ を消去すると $s^6t^3u^4=\dfrac{1}{z}$ を得る．決してきれいな式ではないが，要は $s^6t^3u^4$ の最小値を求めればよいことになる（微分しやすいという点では，そう悪くない式である）．
　以上の考察から元の問題は，次のような問いに変化した．

• 条件 $\dfrac{1}{1+s}+\dfrac{1}{1+t}+\dfrac{1}{1+u}=1$ のもとで，$s^6t^3u^4$ の最小値を求めよ．

　このようにして，Lagrange の未定乗数法を使おうという発想に至る． $$f(s,t,u,\lambda)=s^6t^3u^4-\lambda \left( \dfrac{1}{1+s}+\dfrac{1}{1+t}+\dfrac{1}{1+u}-1 \right)$$ と置いて，こつこつ偏微分していこう． $$\begin{cases} \dfrac{\partial f}{\partial s} =6s^5t^3u^4+\lambda \dfrac{1}{(1+s)^2}=0 \\ \dfrac{\partial f}{\partial t} =3s^6t^2u^4+\lambda \dfrac{1}{(1+t)^2}=0 \\ \dfrac{\partial f}{\partial u} =4s^6t^3u^3+\lambda \dfrac{1}{(1+u)^2}=0 \\ \end{cases}$$ 　偏微分後の第 $1$ 項がいずれも $s^6t^3u^4$ 由来であることに注意すると，次のように式変形できる： $$\dfrac{s}{6(1+s)^2}=\dfrac{t}{3(1+t)^2}=\dfrac{u}{4(1+u)^2}$$ 　よって結局は，次の連立方程式を解けばよい． $$\begin{cases} \dfrac{1}{1+s}+\dfrac{1}{1+t}+\dfrac{1}{1+u}=1 \\ \dfrac{s}{6(1+s)^2}=\dfrac{t}{3(1+t)^2}=\dfrac{u}{4(1+u)^2} \\ \end{cases}$$ 　この方程式は一見難しそうに見えるが，次の式変形に気づけば，計算は複雑ではない． $$\dfrac{s}{(1+s)^2}=\dfrac{1}{1+s} \cdot \dfrac{s}{1+s}=\dfrac{1}{1+s}\left(1-\dfrac{1}{1+s}\right)$$ 　改めて $\dfrac{1}{1+s}=p$，$\dfrac{1}{1+t}=q$，$\dfrac{1}{1+u}=r$ と変数を置き直す．$p+q+r=1$ も用いることで，先ほどの連立方程式は次のように書き直される： $$\begin{cases} p+q+r=1 \\ \dfrac{p(q+r)}{6}=\dfrac{q(r+p)}{3}=\dfrac{r(p+q)}{4} \\ \end{cases}$$ 　この第二式より，ある定数 $k$ を用いて $pq+qr=3k, qr+rp=4k, rp+pq=6k$ と置ける．これより簡単に $pq=\dfrac{5}{2}k, qr=\dfrac{1}{2}k, rp=\dfrac{7}{2}k$ を得る．積を取って $pqr$ の値を求めれば，適当なわり算によって$p=\dfrac{\sqrt{70k}}{2}, q=\dfrac{\sqrt{70k}}{14}, r=\dfrac{\sqrt{70k}}{10}$．
　あとは，$p+q+r=1$ より $\sqrt{k}$ が求まり，従って $p, q, r$ が求まり，さらには $s, t, u$ も求まる．

　なお，Lagrange の未定乗数法は極値（最大値）の存在を保証するものではないので，厳密にはその点には注意が必要です（OMCのルール上，そのようなことは考える必要がないのですが…）．詳しくは適当な参考書等で確認してください．
　類題として，OMC112(C)，OMC132(E) を挙げておきます．