OMC217(F)

　正の実数 $X, Y, Z$ によって $$X=\dfrac{x}{x+\sqrt{y}}, \quad Y=\dfrac{y}{y+\sqrt{z^2}}, \quad Z=\dfrac{z}{z+\sqrt{x^3}}$$ と表す．相加・相乗平均の関係から， $$\begin{aligned}\dfrac{1}{z}&= \left(\dfrac{\sqrt{y}}{x}\right)^{6}\left(\dfrac{z}{y}\right)^3\left(\dfrac{\sqrt{x^3}}{z}\right)^4\\ &=\left(\dfrac{1 - X}{X}\right)^6 \left(\dfrac{1 - Y}{Y}\right)^3 \left(\dfrac{1 - Z}{Z}\right)^4 \\ &=\dfrac{(Y + Z)^{6}}{X^{6}}\dfrac{(Z + X)^{3}}{Y^{3}}\dfrac{(X+Y)^{4}}{Z^{4}}\\ &= \frac{1}{X^6Y^3Z^4} \left(\frac{Y}{5}\cdot 5 + \frac{Z}{7} \cdot 7 \right)^6 \left(Z + \frac{X}{5}\cdot 5 \right)^3 \left(\frac{X}{7}\cdot 7 + Y \right)^4 \\ &\geq \frac{1}{X^6Y^3Z^4} \left(12\sqrt[12]{\frac{Y^5}{5^5}\cdot\frac{Z^7}{7^7}}\right)^6 \left(6\sqrt[6]{Z \cdot\frac{X^5}{5^5}}\right)^3 \left(8\sqrt[8]{\frac{X^7}{7^7}\cdot Y}\right)^4 \\ &= \dfrac{2^{27} \cdot 3^{9}}{5^{5} \cdot 7^{7}}\end{aligned}$$ また，実際に等号を成立させる $x, y, z$ が存在するので，求める答えは $28 \cdot 10 \cdot 6 \cdot 8= \mathbf{13440}$ である．