OMC217(B)

　条件より，直線 $AB,BC,CA$ と $P$ との距離は等しいから $P$ は三角形 $ABC$ の内心である．また，$AB = 3x, BC = 4x, CA = 5x$ とおくと， $$AB^2 + BC^2 = CA^2$$ が成り立つので，$\angle{B}=90^{\circ}$ である．したがって， $$768 = \frac{1}{2}AB\cdot BC = 6x^2$$ であるから，$x = 8\sqrt2$ である．よって， $$AB=24\sqrt2,\quad BC=32\sqrt2,\quad CA=40\sqrt2$$ である．ここで，$P$ から辺 $AB, BC, CA$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とすると，四角形 $BDPE$ は長方形であり，特に $PD = PE$ より正方形である．また，$P$ が内心であることに気をつけると， $$AD = AF,\quad CE = CF$$ がそれぞれ成り立つので， $$BP=\sqrt2BD = \sqrt2\cdot \frac{BD + BE}{2} = \frac{(AB - AD) + (BC - CE)}{\sqrt2} = \frac{AB + BC - CA}{\sqrt2}=\bf{16}$$ である．