| For All Solvers
OMC217

OMC217(D) - 三角比を用いた解法(もっと非推奨)

ユーザー解説 by SchwarzeKatze9

エスパーに毛が生えたような解法なので，非推奨です．

∠PBC=θ\angle PBC = \theta とおくと，Cevaの定理より，sin⁡2θsin⁡4θ⋅sin⁡3θsin⁡θ⋅sin⁡5θsin⁡15θ=1\dfrac{\sin 2\theta}{\sin 4\theta} \cdot \dfrac{\sin 3\theta}{\sin \theta} \cdot \dfrac{\sin 5\theta}{\sin 15\theta} = 1
和積の公式を用いると， 4(sin⁡2θsin⁡3θsin⁡5θ)=sin⁡6θ+sin⁡4θ−sin⁡10θ4\left( \sin 2\theta \sin 3\theta \sin 5\theta \right) = \sin 6\theta + \sin 4\theta - \sin 10\theta 4(sin⁡4θsin⁡θsin⁡15θ)=sin⁡18θ+sin⁡12θ−sin⁡10θ−sin⁡20θ4\left( \sin 4\theta \sin \theta \sin 15\theta \right) = \sin 18\theta + \sin 12\theta - \sin 10\theta - \sin 20\theta これらをよく見ると， (sin⁡6θ−sin⁡18θ)+(sin⁡4θ+sin⁡20θ)−sin⁡12θ=0\left( \sin 6\theta - \sin 18\theta \right) + \left( \sin 4\theta + \sin 20\theta \right) - \sin 12\theta = 0 12θ=90∘12 \theta = 90^{\circ} のとき (左辺)=0+(12+12)−1=0 \left( 左辺 \right) = 0 + \left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \right) - 1 = 0 [*1] であるから，∠PCA=180∘−15×7.5∘=67.5∘\angle PCA = 180^{\circ} - 15 \times 7.5^{\circ} = 67.5^{\circ} は解の候補であり，実際 137\mathbf{137} を提出するとCAを得る．

[*1] 上の式に対し，できるだけ多くの項が消えるような代入をしようと考えるとこのようになる．