OMC217(D) - 三角比を用いる方法（非推奨）

　こんな方法もあるということで，紹介しておきます．
　あまり好まれる方法ではないでしょうし，常にできるとも限らないので非推奨です．

　チェバの定理の三角比版より，次の式が成立する： $$\dfrac{\sin \angle PAC}{\sin \angle PAB}\cdot \dfrac{\sin \angle PBA}{\sin \angle PBC}\cdot\dfrac{\sin \angle PCB}{\sin \angle PCA}=\dfrac{\sin 2 \theta}{\sin 4 \theta} \cdot \dfrac{\sin 3 \theta}{\sin \theta} \cdot \dfrac{\sin 5 \theta}{\sin 15 \theta} =1$$ 　$2$ 倍角の公式，$3$ 倍角の公式を用いると次のように変形できる． $$\dfrac{1}{2 \cos 2 \theta} \cdot \dfrac{3-4\sin^2 \theta}{ 3-4 \sin^2 5 \theta} =1$$ 　分母に $\cos 2 \theta$ があるので，これを含む形に変形すると $3-4\sin^2 \theta=1+2\cos 2 \theta$ となる．よって， $$\dfrac{1+2\cos 2\theta}{2\cos 2\theta(1+2 \cos 10 \theta)}=1$$ 　変形して $\cos 2 \theta \cos 10 \theta=\dfrac{1}{4}$ ．
　積和の公式を用いて $\cos 8 \theta+\cos 12 \theta=\dfrac{1}{2}$．
　$\cos 4 \theta=x$ と置けば，$2$ 倍角の公式，$3$ 倍角の公式を用いて，以下のように変形可能である： $$4x^3+2x^2-3x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}(2x+1)(4x^2-3)=0$$ 　$15 \theta \lt 180^ {\circ}$ だったので，$\cos 4 \theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ すなわち $\theta =7.5^{\circ}$ を得る．

　以下は，三角比を用いる，もう少し楽な別解です．

　$\triangle ABC$ の外接円と直線 $CP$ の交点で，点 $C$ でないものを $D$ とおく．
　$\angle PBC=\theta$ とおくと，$\angle BPE= \angle BEP= 6 \theta$ であり，これより $BP=BE$ を得る．また円周角の定理（正弦定理）より，$AB:BE=\sin 10 \theta : \sin 5 \theta$ であり，$BP=BE$ より $AB:BP=\sin 10 \theta : \sin 5 \theta$．
　一方，$\triangle ABP$ に正弦定理を用いて，$AB:BP=\sin 7 \theta : \sin 4 \theta$．よって，$\sin 10 \theta : \sin 5 \theta = \sin 7 \theta : \sin 4 \theta$ を得る．
　積の形に変形してから $2$ 倍角の公式を用いると，$2 \sin 4 \theta \cos 5 \theta = \sin 7 \theta$．
　和積の変換公式を用いると $\sin 9 \theta - \sin \theta=\sin 7 \theta$．
　$\sin 9 \theta - \sin 7\theta=\sin \theta$ としてから再度和積の変換公式を用いると $2 \sin \theta \cos 8 \theta =\sin \theta$．
　これより $\cos 8 \theta =\frac{1}{2}$ すなわち $\theta =7.5^{\circ}$ を得る．