OMC217(D) - 折り返しを二回する方法

直線 $BC$ に関して $P$ と対称な点を $P^\prime$ とする．すると，簡単な角度計算により，$A, B, P^\prime, C$ の共円が分かる．また，$\angle PBC = \theta$ とすると，$$\angle BAP^\prime = \angle BCP^\prime = 5\theta, \angle ABP^\prime = \angle ABC + \angle P^\prime BC = 5\theta$$ より，$PB = P^\prime B = P^\prime A$ が分かる．また，$\angle PAP^\prime = \theta$ も容易に分かる．ここで，直線 $PP^\prime$ に関して $A$ と対称な点を $A^\prime$ とする．すると，$\angle PBP^\prime = 2\theta = 2 \angle PAP^\prime$ となり，かつ $PB = P^\prime B$ であることから，$BA^\prime = BP = BP^\prime$ が従う．これと，$P^\prime A^\prime = P^\prime A = P^\prime B$ を合わせて三角形 $BA^\prime P^\prime$ が正三角形であると分かる．よって，$\angle A^\prime PP^\prime = 150^\circ$ が分かり，あとは簡単な角度計算により，$\theta = {\cfrac{15}{2}}^\circ$ が分かり，$\angle PCA = {\cfrac{135}{2}}^\circ$ が得られる．