OMC217(D)

　 $\angle PBC = x$ とし，線分 $BC$ に関して $A$ と対称な点を $A^{\prime}$ とする． $$\angle BA^{\prime}C + \angle CPB = (4x+2x) + (180^{\circ} - 5x - x) = 180^{\circ}$$ なので $4$ 点 $A^{\prime},B,C,P$ は同一円周上にある． よって $\angle PBA^{\prime} = \angle PA^{\prime}B = 5x$ であるため $BP = A^{\prime}P$ が分かる． また，直線 $AP$ と $BC$ の交点を $D$ とすると三角形 $ABD$ が二等辺三角形であるため $BD = AD = A^{\prime}D$ が分かる． これらより直線 $PD$ は $BA^{\prime}$ の垂直二等分線であるため， $AB = AA^{\prime}$ であり， 三角形 $ABA^{\prime}$ は正三角形である．従って， $\angle ABA^\prime = 8x = 60^{\circ}$ より $x = 7.5^\circ$ を得るから $\angle PCA = 180^{\circ} -7.5^{\circ} \times 15 = 67.5^{\circ}$ である． 特に解答すべき値は $\bf{137}$.