OMC216(F)

点数: 800

Writer: funnyface

　実数 $x, y, z$ が $$(x+2y)(y+2z)(z+2x)= 12xyz + 5^{20}$$ を満たすとき，以下に最小値が存在します.
$$\biggl(x^2 + \dfrac{1}{2}xy + y^2\biggr)\biggl(y^2 + \dfrac{1}{2}yz + z^2\biggr)\biggl(z^2 + \dfrac{1}{2}zx + x^2\biggr)$$ 実数の組 $(x, y, z)$ がこの最小値を達成しているとき，$x-y$ がとり得ない正整数値の総和を解答してください.