OMC214(F)

点数: 500

Writer: natu_math

　半径 $169$ の円に内接する三角形 $ABC$ において，辺 $AB,AC$ 上にそれぞれ点 $D,E$ があり，三角形 $ABC,ADE$ それぞれの外接円の交点が $A$ でない点で交わったのでそれを $F$ とすると，次が成り立ちました： $$DF=EF=130,\quad DE=100.$$ さらに，線分 $BE$ と線分 $CD$ は点 $X$ で直交しました．線分 $BC,DE$ の中点をそれぞれ $M,N$ としたとき，互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\cos\angle MXN=-\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．