OMC212(F)

点数: 500

Writer: natsuneko

　円 $Ω$ の周上に異なる $2$ 点 $A,B$ があり，線分 $AB$ 上に点 $X$ があります．また, 円 $Ω$ の周上に $2$ 点 $Y,Z$ があり，これらは直線 $AB$ に関して反対側にあり，かつ $AY = 8, BY = 4$ を満たします．このとき，円 $Ω_1$ は点 $X$ で線分 $AB$ に接し，点 $Y$ で円 $Ω$ に内接しました．また，円 $Ω_2$ は点 $X$ で線分 $AB$ に接し，点 $Z$ で円 $Ω$ に内接しました．そして，線分 $AB$ の中点を $M$ としたとき，$YM : ZM = 3:5$ が成立しました．線分 $AB$ の垂直二等分線と直線 $YZ$ の交点を $N$ とするとき，線分 $NZ$ の長さの二乗を求めて下さい．ただし，答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるため，$a+b$ の値を解答して下さい.