OMC212(A)

　$N=1$ の場合は条件を満たさない．以下では，$N\ge2$ の場合を考える．
　$x$ が $N$ の約数であるとき $N/x$ も $N$ の約数であることから，$N$ の持つ約数の個数を $d(N)$ とすると $$m(N) =\prod_{x\mid N}x =\Bigg(\prod_{x\mid N}x\cdot \frac Nx\Bigg)^{1/2} =N^{d(N)/2}$$ が成り立つ．よって，以下が分かる． $$\begin{aligned} &N^{4} \lt m(N) \lt N^{5}\\ \Longleftrightarrow　&4 \lt \frac{d(N)}{2} \lt 5\\ \Longleftrightarrow　&d(N)=9 \end{aligned}$$ したがって $N$ は相異なる素数 $p,q$ を用いて次の２ついずれかの形で表せる. $$N=p^8,　N=p^2q^2$$ このうち, 特に $1 \leq N \leq 100$ を満たすのは $2^{2} × 3^{2} = 36$ と $2^{2} × 5^{2} = 100$ のみである. よって, 解答すべき値は $\mathbf{136}$ である.