OMC212(F) - 三角比による計算

次の事実を用いる（証明は公式解説を参照）．

• $(1)$ 方べきの定理により$MA\times MB=MY\times MZ$
• $(2)$ $\angle YMB=\angle ZMB$
• $(3)$ $NZ=\dfrac{5}{2}YZ$

　事実 $(1)$ より $$MA:MB:MY:MZ=\sqrt{15}:\sqrt{15}:3:5$$ である．これと三角形 $ABY$ に対する中線定理により得られる式 $$8^2+4^2=2(MY^2+MB^2)$$ より，$MY=\sqrt{15}, ~ MB=5, ~ MZ=\dfrac{5\sqrt{15}}{3}$ を得るので，余弦定理により $\cos\angle YMB =\dfrac{4}{25}\sqrt{15}$ がわかる．
これと事実 $(2)$ より，$\cos \angle YMZ=2\cos^2\angle YMB-1=-\dfrac{29}{125}$ である．もう一度余弦定理を用いて， $$YZ^2=MY^2+MZ^2-2MY\cdot MZ\cos \angle YMZ=\frac{1024}{15}$$ である．したがって事実 $(3)$ を用いて $NZ^2=\dfrac{25}{4}YZ=\dfrac{1280}{3}$ を得る．