OMC212(F) - 方べきの定理・トレミーの定理等を利用した別解

（きちんと読むのが面倒な方向けに）本別解のハイライト
　点 $M$ の周りの方べきの定理を用いて，$MA \cdot MB = MY \cdot MZ$ である（わからなければ公式解説の点 $Z^{\prime}$ を参考にせよ）．

　以下，各点の名称は，公式解説と同じものを用いている（定義も改めて記す）．
　点 $Z$ を含む方の弧 $AB$ の中点を $P$，点 $Y$ を含む方の弧 $AB$ の中点を $Q$ とする．このとき，$3$ 点 $Y, X, P$ 及び $Z, X, Q$ はこの順に同一直線上にある（理由は公式解説を参照）．
　なお，このことから $\angle AYX = \angle BYX$ が成り立ち，$AX:BX=2:1$，同様にして $AZ:BZ=2:1$ も示せる．

　また，$\angle YMB=\angle ZMB$ である．これについては公式解説と別の証明を与える．
　$4$ 点 $M, X, Y, Q$ は共円である（$\because \angle QMX=90^{\circ}, \angle QYX=\angle QYP=90^{\circ}$）．これより，$\angle YQX= \angle YMX$ が従う．
　同様に，$4$ 点 $M, X, Z, P$ について考えて，$\angle ZPX= \angle ZMX$
　円周角の定理より，$\angle YQX= \angle YQZ = \angle YPZ = \angle ZPX$ であり，これより $\angle YMB=\angle ZMB$ が従う．
　ここで，点 $Y$，$Z$ から 直線 $AB$ に垂線を下ろし，その足をそれぞれ $H$，$I$ とする．
　$\angle YMB=\angle ZMB$ より $MH:MI=MY:MZ=3:5$ であり，このことから，$NZ= \dfrac{5}{2}YZ$ が従う．従って，以下は $YZ$ を求めることが目標となる．

　以上で準備が整った．あとは，適当な図形に諸定理を活用していこう．
　$AM=m$ とおく．中線定理より $YM=\sqrt{40-m^2}$ を得，これより $ZM=\dfrac{5}{3} \sqrt{40-m^2}$ である．
　点 $M$ の周りの方べきの定理を用いて，$MA \cdot MB = MY \cdot MZ$ である（わからなければ公式解説の点 $Z^{\prime}$ を参考にせよ）．これを用いて $m=5$ を得る．
　$\triangle ABZ$ に再度中線定理を利用して，$AZ=\dfrac{8}{3}\sqrt{10}$，$BZ=\dfrac{4}{3}\sqrt{10}$．
　最後に四角形 $AYBZ$ にトレミーの定理を利用して $YZ=\dfrac{32}{15}\sqrt{15}$ を得る．
　なお，最終的に求めたいものは，$NZ=\dfrac{5}{2}YZ$ であったことに注意せよ．