OMC212(F)

　点 $Y$ を含まない方の弧 $AB$ の中点を $P$，点 $Y$ を含む方の弧 $AB$ の中点を $Q$ とする．このとき，$3$ 点 $Y, X, P$ 及び $Z，X，Q$ がこの順に同一直線上に並ぶことをまず示す．
　以下，円 $Ω$ の中心を $O$，円 $Ω_1$ の中心を $O_1$，円 $Ω_2$ の中心を $O_2$ とする．このとき，$P$ が弧 $AB$ の中点であることから $PO \perp AB$ が従い，また，明らかに $O_1X \perp AB$ であるため，$PO \parallel O_1X$ が従い， $Y, O_1, O$ がこの順に一直線上に並ぶことと合わせて，$∠YO_1X = ∠YOP$ が導かれる．そして，$YO_1 = O_1X, YO = OP$ から $∠O_1YX = ∠OYP$ が従い，直線 $YO$ に関して $X$ と $P$ が同じ側にあることと合わせて，$Y, X, P$ がこの順に同一直線上に並ぶことが示された．$3$ 点 $Z, X, Q$ が同一直線上に並ぶことについても，同様にして示される．
　これより，$AP = BP$ から $$∠AYX = ∠AYP = ∠BYP = ∠BYX$$ となり， $AX : BX = AY : BY = 2 : 1$ と分かる．同様にして，$∠AZX = ∠BZX$，及び $AZ : BZ = AX : BX = 2 : 1$ も分かる．ここで，円 $Ω$ の周上に点 $Z^\prime$ を，$ZZ^\prime \parallel BA$ を満たすように取ったとする．このとき，$∠ZAB = ∠AZZ^\prime$ より，$AZ^\prime = BZ$ が従い，四角形 $AZ^\prime ZB$ は等脚台形と分かる．よって，$AZ^\prime : Z^\prime B = BZ : ZA = 1 : 2$ と分かり， $YZ^\prime$ と $AB$ の交点を $M^\prime$ とおくと， $$AM^\prime : M^\prime B = AY × AZ^\prime : BY × BZ^\prime = 1 : 1$$ となることが分かる．よって，$M^\prime$ と $M$ は一致し，$3$ 点 $Y, M, Z^\prime$ が同一直線上に並ぶことが分かる．このとき， $$∠YMB = ∠YAM + ∠AYM = ∠YAB + ∠AYZ^\prime = ∠YAB + ∠BAZ = ∠YAZ$$ が導かれる．(最後から $2$ 番目の等号に $AZ^\prime = BZ$ を用いた．) 同様にして，$∠ZMB = ∠YAZ$ も導かれる．よって，$∠YMZ = 2∠YAZ = ∠YOZ$ が分かり，$4$ 点 $Y, M, O, Z$ は共円と分かる．また，$YZ$ と $AB$ の交点を $L$ とすると，$∠YML = ∠ZML$ から，$YL : ZL = YM : ZM = 3 : 5$ である．また，$∠AYB + ∠AZB = 180^\circ$ より $\sin \angle AYB =\sin\angle AZB$ であるので $$YA × YB : ZA × ZB = \triangle AYB : \triangle AZB = AB\times YL : AB\times ZL=3 : 5$$ が従う．これと，$ZA : ZB = 2 : 1$ を合わせると，$ZA = \cfrac{8\sqrt{15}}{3}, \ ZB = \cfrac{4\sqrt{15}}{3}$ が得られる．また，$∠AYB + ∠AZB = 180^\circ$，つまり，$\textrm{cos}∠AYB + \textrm{cos}∠AZB = 0$ を用いて，三角形 $AYB$ と三角形 $AZB$ に余弦定理を適用すると，$AB = 10$，及び，$\textrm{cos}∠AYB = -\cfrac{5}{16}$ が得られる．よって,　$\textrm{sin}∠AYB = \cfrac{\sqrt{231}}{16}$ が分かり，正弦定理より，円 $Ω$ の半径が $\cfrac{80}{\sqrt{231}}$ と分かる．
　そして，$3$ 点 $N, M,O$ がこの順に一直線上に並ぶこと，及び $4$ 点 $Y,M,O,Z$ が共円であることから，三角形 $NYM$ と三角形 $NOZ$ が相似であると分かる．よって，$NM : NZ = YM : OZ$，及び，$∠NMY = ∠NZO$ が分かる．三角形 $AYB$ に中線定理を適用することで，$YM = \sqrt{15}$ が分かり，かつ $OZ = \cfrac{80}{\sqrt{231}}$ であることから，$NM : NZ = 3\sqrt{385} : 80$ と分かる．また， $$∠OMZ = 90^\circ - ∠ZMB = 90^\circ - ∠YMB = ∠NMY = ∠OZN$$ より，三角形 $OMZ$ と三角形 $OZN$ が相似とも分かる．よって，$OM × ON = OZ^2 = \cfrac{6400}{231}$ が従う．$OM = \sqrt{OB^2 - BM^2} = \cfrac{25}{\sqrt{231}}$ より，$\ ON = \cfrac{256}{\sqrt{231}}$ が分かり，$NM = ON - OM = \sqrt{231}$ が分かる．よって，$NM : NZ = 3\sqrt{385} : 80$ より，$NZ = \cfrac{80}{\sqrt{15}}$ が分かり，$NZ^2 = \cfrac{1280}{3}$ が分かる．特に，解答すべき値は $\mathbf{1283}$ となる.