OMC212(D)

$a,b$ の最大公約数を$g$ とし, 互いに素な正整数 $a^\prime, b^\prime$ によって $a = ga^\prime, b = gb^\prime$ と表されたとする. このとき, $$\gcd(b^2-a^2, b^2+a^2) = g^2\gcd({b^\prime}^2-{a^\prime}^2, {b^\prime}^2+{a^\prime}^2) = g^2\gcd(2{b^\prime}^2, {b^\prime}^2+{a^\prime}^2)$$ となる. ここで, $\gcd(2{b^\prime}^2, {b^\prime}^2+{a^\prime}^2)$ が奇素数 $p$ で割り切れたとすると，$a^\prime$ と $b^\prime$ が共に $p$ で割り切れることとなり，この $2$ つが互いに素であることに矛盾する．また，$a^\prime$ と $b^\prime$ の内少なくとも一方は奇数であるから，$a^{\prime2} + b^{\prime2}$ は $4$ の倍数でない．よって，$$\gcd(b^2-a^2, b^2+a^2) = g^2,2g^2\tag1$$ と分かる．従って，最後に書かれた数 $c$ を割り切る素数は，$2$ または最初に書かれた $2024$ 個の数を全て割り切る素数のみであり，最初に書かれた $2024$ 個の数の最大公約数は $1$ であるから，$c$ は $2$ べきである．
　以下では，$c$ が $2$ で割り切れる最大の回数を求める．$k$ 回操作された後に黒板に書かれている $2024-k$ 個の数のうち，$2$ で割り切れる回数が最も少ないものの $2$ で割り切れる回数を $e_k$ とする．このとき，(1)より $e_{k+1}\le 2e_{k}+1$ であり，$e_0 = 0$ であるから，$e_{2023} \le 2^{2023}-1$ である．また，黒板に $$1,\quad 3,\quad 2^{2^{1}-1},\quad 2^{2^{2}-1},\quad \ldots,\quad 2^{2^{2022}-1}$$ が書かれているとき，毎回左の二つを選んで操作を行うことで等号が達成される．よって，$N = 2^{2^{2023}-1}$ である．従って，フェルマーの小定理より，求める答えは $\bf{127}$ と計算できる．