OMC212(B)

　三角形 $ABC$ が鋭角三角形であることより，$∠BHC = ∠BOC = ∠BIC = 120^\circ$ であること，及び，$3$ 点 $H$, $O$, $I$ が辺 $BC$ に関して同じ側にあることが分かる．よって $5$ 点 $B, H, O, I, C$ は同一円周上にあり，三角形 $BOC$ の外接円の半径が $\cfrac{14}{\sqrt{3}}$ となることが分かる．$∠BOC= 120^\circ$ より，$BC = 14$ が分かり，$AB = a, AC = b$ とおくことで，余弦定理より $$a^2 + b^2 - ab = 196$$ が従う．$a,b$ がともに整数であること，三角形 $ABC$ が鋭角三角形であること，及び $H, O, I$ が三角形をなすこと（つまり，三角形 $ABC$ が正三角形ではないということ）を踏まえると，$\min(a,b)^2\lt196=14^2$ が分かるので，この範囲で順に代入することで $\{a,b\}=\{10,16\}$ が分かる．従って，三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗としてあり得る値は $\mathbf{4800}$ のみである.