OMC211(F)

　まず，任意の複素数係数多項式 $P$ について，$P(x)-x$ が重根を持たないならば $P(P(x)) - x$ は $P(x) - x$ で割り切れる．

よって，$2000=m$ とすれば $$\begin{aligned} -p &= f(f(n))-n \\ &= (n^2+3n-m^2)^2+3(n^2+3n-m^2)-m^2-n\\ &=n^4+6n^3+(12-2m^2)n^2+(8-6m^2)n+m^4-4m^2\\ &=(n^2+2n-m^2)(n^2+4n-m^2+4)\\ &=((n+1)^2-2000^2-1)(n+2002)(n-1998) \end{aligned}$$ が分かる．$n+2002$ と $n-1998$ の差が $4$ であることに注意するとこれら $2$ 数の絶対値は少なくとも一方は $1$ でない．したがって $p$ が素数であるために $(n+1)^2-2000^2-1$ の絶対値が $1$ であることが必要であるので $n=1999,-2001$ となる．このうち $p$ が素数であるのは $n=1999$ のときである．以上より与式を満たすのは $(n, p) = (1999, 4001)$ のみと分かる．特に解答すべきは $\bf{7997999}$ である．