OMC211(D)

　直線 $I_CA$ と $\triangle ABC$ の外接円の交点のうち $A$ でない方を $M$ とする．一般に $$\angle{CAB}+2\angle{I_CAB}=180\degree$$ であることから次が成り立つ． $$\angle MAC=\angle I_CAB=\angle CAB=60\degree$$ これより $MBC$ は正三角形となる．さらに，簡単な角度計算から $\angle MI_CB=\angle MBI_C$ が分かるので $$MI_C=MB=MC=BC$$ である．これらのことから $$AM+AB=AC=BC+1=MI_C+1$$ したがって $AB=AI_C+1$ であり，$AB=x$ とすれば三角形 $ABI_C$ において余弦定理から $$x^2+(x-1)^2-x(x-1)=6^2$$ これを解くと $x=\dfrac{1+\sqrt{141}}{2}$ であり，解答は $1+141+2=\bf{144}$ ．

別解.

　直線 $CI_C$ に関して $B$ と対称な点を $X$ とすると，これは辺 $AC$ 上にある．簡単な角度計算により， $4$ 点 $A,X,B,I_C$ は同一円周上にあり，特に三角形 $BI_CX$ は正三角形である．よって $BX=BI_C=6$ が従うので三角形 $ABX$ について余弦定理を用いることで $AB^2+1-AB=36$ を得る．したがって $AB=\dfrac{1+\sqrt{141}}{2}$ である．