OMC211(B) - 別解

　$$\frac{1}{n}+\frac{20}{n^2}=\frac{n+20}{n^{2}}$$ より, $n+20$ は $n$ の倍数となる必要があり, 特に $n$ は $20$ の約数です.
$nm=20$ なる整数 $m$ を取ると, 与式は

$$\begin{aligned} \frac{n+20}{n^{2}}&=\frac{n+nm}{n\times \frac{20}{m}}\\ &=\frac{m(m+1)}{20}\\ \end{aligned}$$

と変形できます. よって, 最後の式が整数となるような $20$ の約数 $m$ を探せばよく, $m=-20,-5,-1,4,20$ が見つかります.

なお, この $m$ の発見は $20$ の約数 $12$ 個全てを愚直に計算して試す方法のほか,

• $m,m+1$ のうち偶数は一方のみのため, その一方が $4$ の倍数となる必要がある. よって, $m=\pm 2,\pm 10$ はありえない.
• $\mod 5$ を考えることで, $m\equiv 0,4\pmod 5$ のみが条件を満たしうる.

などによって候補を絞ることが可能です.