OMC210(F) - OMC君の問題を反転を使わずに解く方法

　点 $I$ から直線 $AB$ に下ろした垂線の足を点 $D$ ，直線 $DM$ と$OI$ の交点を点 $E$ ，直線 $CI$ と $AB$ の交点を点 $F$ とする．また三角形 $OMC$ の外接円上に点 $Q$ を，線分 $OQ$ が円の直径となるようにとる．さらに三角形 $ABC$ の外接円の半径を $R$ ，内接円の半径を $r$ とする．
　$DI$ と $MO$ はいずれも $AB$ に垂直より $OE:EI=R:r$ であり，$MO$ と $MQ$ が垂直から $DF//MQ$ ，$angle-chase$ で $OQ//IF$ となりこれらから三角形 $IDF$ と三角形 $OMQ$ は相似で，相似の中心が点 $E$ となるので点 $F, E, Q$ は同一直線上である．
　根軸を考えると直線 $AB, MC, OP$ は一点で交わり，この点を $G$ とする．$OA=OB$ より直線 $OP$ は角 $APB$ の外角の二等分線となるので，$AC:BC=AG:BG=AP:BP$ であり，$AP:BP=AC:BC=AF:BF$ から直線 $PF$ は角 $APB$ の内角二等分線となることが分かり，直線 $OP$ と $PF$ は垂直であることが言える．$OQ$ が直径であることから直線 $OP$ と $PQ$ も垂直なので，点 $F, P, Q$ は同一直線上であり，特に $\angle OPE=90\degree$ が言える．
　点 $I$ から直線 $OP$ に下ろした垂線の足を点 $H$ とし，$\angle IPH=\theta$ とすれば，$R:r=OE:EI=OP:PH=q:a \cos \theta$ となり，有名事実から $p^2=R^2-2Rr$ なので $\dfrac{R^2-p^2}{R^2}=\dfrac {2r}R=\dfrac {2a\cos\theta}q=\dfrac{p^2-q^2-a^2}{q^2}$
　これを整理することで $R^2$ を $p^2, q^2, a^2$ で表すことができる．