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OMC210 (エリジオン杯)

OMC210(D) - 前半部分の別解

ユーザー解説 by pomodor_ap

OO が円 ADEADE 上にあることの証明です．

三角形 ABCABC の垂心，外心をそれぞれ H,OH, O とする．円 ADEADE と円 ABCABC の交点を QQ とする．∠BDC=∠BEC=90∘\angle BDC=\angle BEC=90^{\circ} より B,D,E,CB, D, E, C は共円であるから，円 BDECBDEC，円 ADEADE，円 ABCABC の根心を考え AQ,DE,BCAQ, DE, BC は共点．この点を XX とする．ところで，AA と PP は DEDE について対称であるから，∠AXD=∠PXD\angle AXD=\angle PXD である．また，∠DQX=∠AED=∠ACB\angle DQX=\angle AED=\angle ACB より，D,Q,X,CD, Q, X, C は共円．よって， ∠QDA=∠QXC=2∠QXD=2∠QCD=∠QOA\angle QDA=\angle QXC=2\angle QXD=2\angle QCD=\angle QOA より，OO は円 ADEADE 上にある．

なお，この解説における点 QQ は特に本選以降などの証明問題でよく登場し，面白い性質がたくさんあるので，幾何を得意にしたい方は知っておくことをおすすめします．せっかくなのでここにその性質について少し書いてみようと思います．

性質1 : BCBC の中点を MM とする．Q,H,MQ, H, M は共線である． QHQH と円 ABCABC の交点を XX とする．∠AQX=90∘\angle AQX=90^{\circ} より AXAX は円 ABCABC の直径だから，XX と HH は MM について対称である．よって，H,M,XH, M, X は共線であるから，Q,H,MQ, H, M は共線．
性質2 : AHAH と円 ABCABC の交点を T(≠A)T(\neq A)，B,CB, C における円 ABCABC の接線の交点を SS とする．Q,T,SQ, T, S は共線である (また，QTQT は三角形 QBCQBC の ∠Q\angle Q 内の symmediansymmedian である．) ∠QBE=∠QCD,　∠QEA=∠QDA\angle QBE=\angle QCD,　\angle QEA=\angle QDA より三角形 QEBQEB と QDCQDC は相似．また，三角形 HBEHBE と HCDHCD も相似であるから，QB:QC=BE:CD=BH:CH=BT:CTQB:QC=BE:CD=BH:CH=BT:CT より四角形 QBCTQBCT は調和四角形である．よって示された．
また，(Q,E,H,D,M)(Q, E, H, D, M) と (Q,B,T,C,S)(Q, B, T, C, S) の 55 点相似から示すこともできる．