OMC202(D)

点数: 400

Writer: Shota_1110

　三角形 $ABC$ は $AB = 11,AC = 10$ をみたしています．辺 $BC$ 上に，$4$ 点 $B,Q,P,C$ がこの順に並ぶよう $2$ 点 $P, Q$ をとったところ，以下が成り立ちました： $$\angle APB = 90^{\circ},\quad \angle BAC = 2 \angle PAQ,\quad PQ : QB = 11 : 10.$$ このとき辺 $BC$ の長さは互いに素な正整数 $p, q$ によって $\sqrt{\dfrac{p}{q}}$ と表せるので， $p + q$ の値を解答してください．