| For All Solvers
OMC201 (for beginners)

OMC201(F) - 別解：因数分解 (+公式解説補足)

ユーザー解説 by masa_kasa

【追記：2024/01/17 23:02】公式解説の補足を追記しました.

　別解を記述する前に, 公式解説 22 式目の補足です. P(x)=x3−9x−9=(x−α)(x−β)(x−γ)P(x)=x^3-9x-9=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) 　より, x=−1,910x=-1, \frac{9}{10}を代入して以下が得られる. P(−1)=(−1−α)(−1−β)(−1−γ)=−(α+1)(β+1)(γ+1)P(−109)=(−109−α)(−109−β)(−109−γ)=−193(9α+10)(9β+10)(9γ+10)\begin{aligned} P(-1) &= (-1-\alpha)(-1-\beta)(-1-\gamma) &= -(\alpha + 1)(\beta + 1)(\gamma + 1)\\ P\left(-\frac{10}{9}\right) &= \left(-\frac{10}{9}-\alpha\right)\left(-\frac{10}{9}-\beta\right)\left(-\frac{10}{9}-\gamma\right) &= -\frac{1}{9^3}(9\alpha + 10)(9\beta + 10)(9\gamma + 10) \end{aligned} 　以上より SS が公式解説のように計算できる.

　別解の紹介です. 前半の方針は公式解説と同じで, 後半のみ異なります.

　P(x)=x3−9x−9P(x)=x^3-9x-9 とおき, α3=9α+9\alpha^3=9\alpha+9 が成立する点までは解説と変わらない. x2−x+1=0x^2 - x + 1 = 0 の解は複素数 z=1+3i2(=cos⁡π3+isin⁡π3)z=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}(=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}) を用いて x=z,z‾x=z, \overline{z} と表せる. α3+α2−10α−8=α2−α+1=(α−z)(α−z‾)\alpha^3+\alpha^2-10\alpha-8 = \alpha^2 - \alpha + 1 = (\alpha - z)(\alpha - \overline{z}) 　ところで,
P(x)=x3−9x−9=(x−α)(x−β)(x−γ)P(x)=x^3-9x-9=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) 　であるから, 求める値を SS とすれば, S=(α2−α+1)(β2−β+1)(γ2−γ+1)=(α−z)(β−z)(γ−z)(α−z‾)(β−z‾)(γ−z‾)=P(z)P(z‾)=(z3−9z−9)(z‾3−9z‾−9)=(−10−9z)(−10−9z‾)=100+90(z+z‾)+81z⋅z‾=271 \begin{aligned} S &= (\alpha^2 - \alpha + 1)(\beta^2 - \beta + 1)(\gamma^2 - \gamma + 1)\\ &= (\alpha - z)(\beta - z)(\gamma - z)(\alpha - \overline{z})(\beta - \overline{z})(\gamma - \overline{z})\\ &= P(z)P(\overline{z})\\ &= (z^3-9z-9)(\overline{z}^3-9\overline{z}-9)\\ &= (-10-9z)(-10-9\overline{z})\\ &= 100 + 90(z+\overline{z}) + 81z\cdot \overline{z}\\ &= \mathbf{271} \end{aligned}