OMC200(D) - Pickの定理の利用

　$z$ を固定して条件を満たす $x, y$ の組を $xy$ 平面上に図示することを考える．すると，求めるべきは $1 \leq z \leq 19$ のもとで，$4$ 点 $$(z, 0), (0, z), (20-z, 20), (20, 20-z)$$ 　を頂点に持つ平行四辺形の(境界を除く)内部に，または $2$ 点 $(20-z, 20), (20, 20-z)$ を結ぶ(両端点を除く)線分上にある格子点の数を求めて足し合わせた値と分かる．平行四辺形の周上にある格子点が $40$ 個であり，平行四辺形の面積が $40z - 2z^{2}$ であることから，前者は Pick の定理より $40z - 2z^{2} - 19$ と分かる．また，後者は $z - 1$ であると容易に分かる．よって，これらの和を $1 \leq z \leq 19$ のもとで足し合わせればよく，計算すれば答えは $\mathbf{2470}$ となる．