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OMC198 (エリジオン杯)

OMC198(C)

ユーザー解説 by SchwarzeKatze9

トレミーの定理でlength-chaseします．

　一般に，円に内接する凸四角形 XYZWXYZW において，トレミーの定理と正弦定理より，

XY⋅sin⁡∠ZXW+XW⋅sin⁡∠YXZ=XZ⋅sin⁡∠YXW XY \cdot \sin \angle ZXW + XW \cdot \sin \angle YXZ = XZ \cdot \sin \angle YXW

(両辺を外接円の直径で割ったのである)

　四角形 DABC,DAPQ,DRPCDABC, DAPQ, DRPC は凸である[*1]から，

DA⋅sin⁡∠BDC+DC⋅sin⁡∠ADB=DB⋅sin⁡∠ADCDA⋅sin⁡∠BDC+DQ⋅sin⁡∠ADB=DP⋅sin⁡∠ADCDR⋅sin⁡∠BDC+DC⋅sin⁡∠ADB=DP⋅sin⁡∠ADC DA \cdot \sin \angle BDC + DC \cdot \sin \angle ADB = DB \cdot \sin \angle ADC \\ DA \cdot \sin \angle BDC + DQ \cdot \sin \angle ADB = DP \cdot \sin \angle ADC \\ DR \cdot \sin \angle BDC + DC \cdot \sin \angle ADB = DP \cdot \sin \angle ADC

ここで，sin⁡∠BDC:sin⁡∠ADB:sin⁡∠ADC=BC:AB:AC=7:5:AC\sin \angle BDC : \sin \angle ADB : \sin \angle ADC = BC : AB : AC = 7 : 5 : AC より，

DA⋅7+DC⋅5=DB⋅ACDA⋅7+35DC⋅5=(DB−2)⋅AC49DA⋅7+DC⋅5=(DB−2)⋅AC DA \cdot 7 + DC \cdot 5 = DB \cdot AC \\ DA \cdot 7 + \frac{3}{5} DC \cdot 5 = \left( DB-2 \right) \cdot AC \\ \frac{4}{9} DA \cdot 7 + DC \cdot 5 = \left( DB-2 \right) \cdot AC

したがって，

25DC⋅5=59DA⋅7=2AC \frac{2}{5} DC \cdot 5 = \frac{5}{9} DA \cdot 7 = 2AC

これを整理すると DC=AC,DA=1835ACDC = AC, DA = \dfrac{18}{35}AC が得られ，後は公式解説と同様．

[*1] 位置関係の議論をすれば証明できる．(実は，有向角を利用して凸性の議論を省くこともできる)