OMC196(F)

点数: 600

Writer: KitayamaYuji

　$AB=67, ~ AC=78$ なる鋭角三角形 $ABC$ があり，その外接円を $\omega$ とすると，$\omega$ の半径は $45$ でした．$\omega$ の弧 $BC$（$A$ を含まない方）上の点 $P$ と，三角形 $ABC$ の内部（周上を除く）の点 $Q$ について，$Q$ は直線 $AP$ 上にはなく，さらに $$\angle PBQ + 2\angle ACB = \angle PCQ + 2\angle ABC = 180^\circ$$ が成り立ちました．ここで，直線 $BQ, CQ$ と直線 $AP$ の交点をそれぞれ $X, Y$ とします．三角形 $QXY$の外接円の半径が $10$ であったとき，線分 $BP$ の長さとしてありうる値の総積を求めてください．