OMC196(F) - 垂心を利用せずに解く方法

(方針を示す目的なので、諸々省略していることはご容赦ください)

angle chaseにより, $\triangle ABC$と$\triangle QYX$は相似. よって外接円半径の比を考えて$BC:YX=9:2$である. また, $BP=BX, CP=CQ$だから, $B,C$から$AP$に下ろした垂線の足を$M,N$とすると, これらはそれぞれ$XP, YP$の中点で, $BC:XY:MN=9:2:1$.

従って, $\angle CBM=\theta$とすると, $\sin\theta=\dfrac{1}{9}$で, また$\cos\theta=\dfrac{\sqrt{80}}{9}$となる. $\angle ABC=\beta$とおくと正弦定理などより$\sin\beta=\dfrac{78}{90}, \cos\beta=\dfrac{\sqrt{2016}}{90}$となることを用いると, $\angle ABX=\beta\pm\theta, \angle BAP=90^\circ-\beta\mp\theta$となることから,

$$BP=2\cdot45\sin(90^\circ-\beta\mp\theta)=90\cos(\beta\pm\theta)=90\left(\frac{\sqrt{80}}{9}\cdot\frac{\sqrt{2016}}{90}\mp\frac{1}{9}\cdot\frac{78}{90}\right)=\frac{1}{9}(\sqrt{80\cdot2016}\mp78)$$

と計算でき, 求める総積は

$$\frac{1}{9}(\sqrt{80\cdot2016}-78)\times\frac{1}{9}(\sqrt{80\cdot2016}+78)=\mathbf{1916}$$ とわかる.