OMC194(C)

　$K=\dfrac{k}{10^5}$ とする．漸化式から $$a_{n+2}-a_{n+1}=K(\lceil a_{n+1} \rceil -\lceil a_n \rceil )$$ である．右辺について， $$\lceil a_{n+1} \rceil -\lceil a_n \rceil =\lceil K \lceil a_n \rceil +1 \rceil -\lceil a_n \rceil = \lceil K \lceil a_n \rceil \rceil -\lceil a_n \rceil +1$$ であり，$0\lt K\lt 1$ および $a_n\gt 0$ により $\lceil a_{n+1} \rceil -\lceil a_n \rceil \leq 1$ である．さらに， $$\lceil a_{n+2}-a_{n+1} \rceil -1 \leq \lceil a_{n+2} \rceil -\lceil a_{n+1} \rceil \leq \lceil a_{n+2}-a_{n+1} \rceil = \lceil K(\lceil a_{n+1} \rceil -\lceil a_n \rceil ) \rceil$$ であり，以下が成り立つことが分かる：

• $\lceil a_{n+1} \rceil - \lceil a_n \rceil =1$ のとき $\lceil a_{n+2} \rceil -\lceil a_{n+1} \rceil =0$ または $1$
• $\lceil a_{n+1} \rceil - \lceil a_n \rceil =0$ のとき $\lceil a_{n+2} \rceil -\lceil a_{n+1} \rceil =0$
• $\lceil a_{n+1} \rceil - \lceil a_n \rceil \lt 0$ のとき $\lceil a_{n+2} \rceil -\lceil a_{n+1} \rceil \leq 0$

これにより $\{\lceil a_n\rceil \}$ は広義単調増加または広義単調減少である．ここで，$\{\lceil a_n\rceil \}$ が広義単調減少のとき $\lceil a_{N+1} \rceil =\lceil a_N \rceil$ となるような $998$ 以下の正整数 $N$ が存在し，このとき $a_{N+1}=a_{N+2}$ であるから条件を満たさない．したがって，$\{\lceil a_n\rceil \}$ は広義単調増加である必要があり，このとき $$\lceil a_2 \rceil - \lceil a_1 \rceil = \lceil 500K+1 \rceil - 500 =1 \iff \lceil 500K \rceil =500$$ すなわち $\dfrac{499}{500} \lt K (\leq 1)$ が必要である．以下の議論では $K$ がこれを満たすものとする．
　次に，初めて $\lceil a_{N+1} \rceil = \lceil a_N \rceil$ となる $N$ について考える．漸化式および天井関数の定義から $$\lceil a_N \rceil -1 \lt K\lceil a_N \rceil +1 \leq \lceil a_N \rceil \iff \frac{1}{1-K} \leq \lceil a_N \rceil \lt \frac{2}{1-K}$$ である．$\lceil a_1 \rceil, \lceil a_2 \rceil, \ldots , \lceil a_N \rceil$ は公差 $1$ の等差数列であり，また上の不等式の区間は $1$ より大きいから，これを満たす $N$ が必ず存在する．これより $a_1, a_2, \ldots ,a_{1000}$ が全て相異なるには $$\lceil a_{998} \rceil = 1497 \lt \frac{1}{1-K} \iff 1-\frac{1}{1497} \lt K = \frac{k}{10^5}$$ であればよく，$k=99934,99935,\ldots ,99999$ がこれを満たす．特に解答すべき値は $\bf{6597789}$ である．