OMC194(D)

　三角形の各辺の長さを $a,b,c$ とし，面積，周長，内接円の半径を $S,2s,r$，傍接円の各半径を $r_a,r_b,r_c$ とおく．このとき， $$S=sr=(s-a)r_a=(s-b)r_b=(s-c)r_c$$ が成り立つので，$a+b+c=2s$ に留意することで以下の成立がわかる (L'Huilierの定理)： $$\displaystyle \frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{1}{r}$$ 一方で，Heronの公式より以下が成立する： $$S^2=s(s-a)(s-b)(s-c)=rr_ar_br_c$$ よって，相加・相乗平均の不等式より $$\frac{1}{3r}=\dfrac{1}{3}\left(\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}\right)\geq\sqrt[3]{\frac{1}{r_ar_br_c}}=\sqrt[3]{\frac{r}{S^2}}$$ が成り立つ．したがって，$S^2\geq 27r^4$ であるから $S\leq 20$ より $r=1$ に限られ，L'Huilierの定理より，傍接円の半径の組としてあり得るものは $$(3,3,3),~ (2,4,4),~ (2,3,6)$$ の $3$ つである．このとき $S^2=27,32,36$ はいずれも条件をみたすので，求める $2s=\dfrac{2S}{r}$ の平方和は $\textbf{380}$ である.