ユーザー解説 by Hi_math
余弦定理より， PQ=142+162−2⋅14⋅16⋅12=228PR=142+122−2⋅14⋅12⋅12=172QR=162+122−2⋅16⋅12⋅12=208PQ = \sqrt{14^2 + 16^2 - 2 \cdot 14 \cdot 16 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{228} \\ PR = \sqrt{14^2 + 12^2 - 2 \cdot 14 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{172} \\ QR = \sqrt{16^2 + 12^2 - 2 \cdot 16 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{208}PQ=142+162−2⋅14⋅16⋅21=228PR=142+122−2⋅14⋅12⋅21=172QR=162+122−2⋅16⋅12⋅21=208 である．
ヘロンの公式亜種(参照)より，求めるべき値は，三角形 PQRPQRPQR の面積が 2(228⋅172+172⋅208+208⋅228)−(2282+1722+2082)4=1200004=7500\frac{\sqrt{2(228 \cdot 172 + 172 \cdot 208 + 208 \cdot 228) - (228^2 + 172^2 + 208 ^2)}}{4} = \frac{\sqrt{120000}}{4} = \sqrt{7500}42(228⋅172+172⋅208+208⋅228)−(2282+1722+2082)=4120000=7500 となることより 7500\textbf{7500}7500 である．