OMC192(D)

　$BO_1 = CO_1 = DO_1$ と直線 $O_1O_2$ が面 $BCD$ と垂直であることより，$BO_2 = CO_2 = DO_2$ が分かる．これを $d$ とすれば，$B,C,D$ から四面体 $APQR$ の外接球への方べきを考えると $$d^2 - AO_2^2 = BP\times AB = CQ\times AC = DR\times AD$$ が分かる．これらの値は全て $BP\times AB = 60$ に等しいので，$CQ = \dfrac{15}{4},DR = \dfrac{20}{7}$ を得る．よって，常に $$\frac{V_2}{V_1} = \frac{AP\times AQ \times AR}{AB\times AC\times AD} = \frac{AP(AC-CQ)(AD-DR)}{AB\times AC\times AD} = \frac{1397}{2880}$$ であると分かる．特に，解答すべき値は $\bf{4277}$ である．