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OMC192 (for experts)

OMC192(E)

　22 つの複素数 s,ts, t であって s+t=2b，s2+t2=2as + t = 2b，s^2 + t^2 = 2a を満たすものを考えると， st=(s+t)2−(s2+t2)2=2b2−ast = \frac{(s + t)^2 - (s^2 + t^2)}{2} = 2b^2 - a が成り立つので，問題にある方程式は x4+(s+t)x3+(s+t+st)x2+(s2+t2)x+st=0x^4 + (s + t)x^3 + (s + t + st)x^2 + (s^2 + t^2)x + st = 0 と表すことができ，これを因数分解すると (x2+sx+t)(x2+tx+s)=0(1)(x^2 + sx + t)(x^2 + tx + s) = 0 \tag{1} となる．ここで 22 つの 22 次式 f(x)=x2+sx+t，g(x)=x2+tx+sf(x) = x^2 + sx + t，g(x) = x^2 + tx + s を定め，f(x),g(x)f(x), g(x) の判別式をそれぞれ Df,DgD_f, D_g とおこう．
　∣b∣>a|b| \gt \sqrt{a} のときは s,ts, t がともに虚数であることが確かめられるので，f(x),g(x)f(x), g(x) はいずれも実根をたかだか 11 個しかもたず，不適である．また，∣b∣=a|b| = \sqrt{a} のときは s=ts = t なので f(x)f(x) と g(x)g(x) は同一の式となり，この場合も不適である．以後 ∣b∣<a|b| \lt \sqrt{a} とする．このとき s,ts, t は相異なる実数である．
　方程式 (1)(1) がちょうど 33 つの実数解をもつには以下 22 つのうちどちらかを満たさなければならない．

  • 条件 1. f(x),g(x)f(x), g(x) は共通の実根をもつ．
  • 条件 2. Df,DgD_f, D_g のうち一方は 00 である．

f(x)=g(x)f(x) = g(x) なる実数 xx は x=1x = 1 に限るので，条件 1.を満たすには s+t=−1s + t = -1，つまり b=−12b = -\dfrac{1}{2} が必要である．条件 2.を満たす場合，変数 s,ts, t の対称性から Df=0D_f = 0 の場合のみを考えればよく，このとき Df=s2−4t=−t2−4t+2a=0D_f = s^2 - 4t = -t^2 - 4t + 2a = 0 であることと ∣t∣≤s2+t2=2a|t| \leq \sqrt{s^2 + t^2} = \sqrt{2a} から t=2a+4−2t = \sqrt{2a + 4} - 2 が得られる．したがって α=2a+4−2\alpha = \sqrt{2a + 4} - 2 とおき，α2+β2=2a\alpha^2 + \beta^2 = 2a なる正の実数 β\beta を定めれば，条件 2.を満たすには b=α±β2b = \dfrac{\alpha \pm \beta}{2} が必要であることがわかる．
　これらのことから，f(x)g(x)f(x)g(x) が実根を 33 つもつような bb の値となり得るのは −12，α+β2，α−β2- \frac{1}{2}，\frac{\alpha + \beta}{2}，\frac{\alpha -\beta}{2} の 33 通りである．したがってこのような bb が 33 つ存在するならばその積は −12×α+β2×α−β2=−α2−β28=−α2−a4=−a+8−42a+44=−(a+2−22)2−24 \begin{aligned} -\frac{1}{2} \times \frac{\alpha + \beta}{2} \times \frac{\alpha - \beta}{2} &= - \frac{\alpha^2 - \beta^2}{8} = - \frac{\alpha^2 - a}{4} \\ &= - \frac{a + 8 - 4\sqrt{2a + 4}}{4} \\ &= - \frac{(\sqrt{a + 2} - 2\sqrt{2})^2 - 2}{4} \end{aligned} と表される．これが −1200-1200 となるとき， (a+2−22)2=4802(\sqrt{a + 2} - 2\sqrt{2})^2 = 4802 から a+2=22+492=512\sqrt{a + 2} = 2\sqrt{2} + 49\sqrt{2} = 51\sqrt{2} が得られ，ゆえに a=512×2−2=5200a = 51^2 \times 2 - 2 = \mathbf{5200} である．逆に a=5200a = 5200 が条件を満たすことは，次のように確かめられる．

　a=5200a = 5200 のときは α=100,β=20\alpha = 100, \beta = 20 であり，b=−12,40,60b = - \dfrac{1}{2}, 40, 60 のそれぞれの場合で f(x)g(x)f(x)g(x) を調べると以下のようになり，いずれの場合も確かに実根を 33 つもつことがわかる．

  • b=−12b = -\dfrac{1}{2} のときは f(x)g(x)=(x−1)2(x2+x−103992)f(x)g(x) = (x-1)^2(x^2 + x - \frac{10399}{2})
  • b=40b = 40 のときは f(x)g(x)=(x−10)2(x2+100x−20)f(x)g(x) = (x - 10)^2(x^2 + 100x - 20)
  • b=60b = 60 のときは f(x)g(x)=(x+10)2(x2+100x+20)f(x)g(x) = (x + 10)^2(x^2 + 100x + 20)

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