OMC192(B)

　$16$ 数 $a_0, a_1, …, a_7, b_0, b_1, …, b_7$ のうち $4$ つにまず $6, 7$ を割り当てる方法は $4$ 通りあるが，その中で唯一 $a_7 \leq 5$ を満たすものは以下の場合である． $$a_0 = b_7 = 7，a_6 = b_0 = 6$$

$A$ が最小の状況を調べる上では，この場合を仮定し条件を満たす数の割り当てが見つけられれば十分であるので，まずはこれを仮定しよう．
　ここで，以下 $2$ つの事実が得られる．

• $a_n b_n = 0$ なる $n$ はちょうど $1$ つである．
• $a_m = b_n$ かつ $a_n = b_m$ なる $m, n\ (m \neq n)$ は存在しない．

このことから $a_0 b_0, a_1 b_1, …, a_7 b_7$ の中に重複があるとすれば，その値は $1 \times 6 = 2 \times 3 = 6$ または $2 \times 6 = 3 \times 4 = 12$ であることが分かる．特に $a_6 b_6$ は $6, 12$ のいずれかとならざるを得ないので，これより $b_6$ のとり得る値は $1, 2$ のいずれかに絞られる．すると $a_7 = b_2 = 5$ が従い，また，値が $4$ となる変数の組み合わせは $a_1, b_5$ または $a_5, b_1$ に限られる．
　ここで $a_5 = b_1 = 4$ であるとすると，$a_4 = b_6 = 2$，$a_3 = b_3 = 0$ が順次従う．この時点で値が確定していない変数は $a_1, a_2, b_4, b_5$ の $4$ つであるが，この中の $2$ つに $1$ を割り当てるのは不可能である．よってこれは不適である．
　一方で $a_1 = b_5 = 4$ であるとすると，$a_4 = b_1 = 3$，$a_5 = b_6 = 1$ が順次従い，さらに $a_3 = b_3 = 0$，$a_2 = b_4 = 2$ も確定する．これは $a_4 b_4 = a_6 b_6 = 6$ を確かに満たしており，条件を満たす $16$ 数が確定したことになる．このとき $A = \mathbf{56130247}$ であり，これが求める最小値である．