OMC189(D) - 形式的べき級数

　testerの ojamesi1357 さんの解法が秀逸だったので共有します．

　$x(y)$ 軸方向に $\pm1$ だけ進むことを $x^{\pm1}(y^{\pm1})$ と表現すれば求めるべきは次の式を展開したときの $x^2y$ の係数である． $$\Big(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\Big)^{15}$$ $(xy)^{15}$ をかけて整理すると，上式の$x^2y$ の係数は次の式の $x^{17}y^{16}$ の係数に等しい． $$(x+y)^{15}(xy+1)^{15}$$ $(x+y)^{15}$ の展開式において一般項は ${}_{15}\mathrm{C}_{s}x^sy^{15-s}　(s=0,1,...,15)$，
$(xy+1)^{15}$の展開式において一般項は ${}_{15}\mathrm{C}_{t}x^ty^t　(t=0,1,...,15)$なので，この $s,t$ を用いて
$\Big(x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}\Big)^{15}$ の展開式において一般項は ${}_{15}\mathrm{C}_{s}\cdot{}_{15}\mathrm{C}_{t}x^{s+t}y^{15-s+t}　(t=0,1,...,15)$ と表される．
特に $s+t=17,15-s+t=16$ となるのは $s=8,t=9$ のときに限られるので所望の係数は $${}_{15}\mathrm{C}_{8}\cdot{}_{15}\mathrm{C}_{9}=\bf{32207175}.$$