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OMC189 (SEG杯)

OMC189(C) - Ravi変換

ユーザー解説 by natu_math

　33 辺の長さ 1≤z≤y≤x≤281\leq z\leq y\leq x\leq 28 とし，次の a,b,ca,b,c に変換する． a=−x+y+z2,　b=x−y+z2,　c=x+y−z2a=\dfrac{-x+y+z}{2},　b=\dfrac{x-y+z}{2},　c=\dfrac{x+y-z}{2} このとき a,b,ca,b,c は整数 l≤m≤nl\leq m\leq n を用いて次の 22 パターンのいずれかで表せる．(∵−x+y+z≡x−y+z≡x+y−zmod  2)(\because -x+y+z\equiv x-y+z\equiv x+y-z\mod 2) (a,b,c)=(l,m,n),(l−12,m−12,n−12)(a,b,c)=(l,m,n),(l-\frac{1}{2},m-\frac{1}{2},n-\frac{1}{2})

  • 前者の場合，条件は次の通り． 1≤l≤m≤n,　m+n≤28⟺1≤l≤m,　n≤m≤28−n1\leq l\leq m\leq n,　m+n\leq28\Longleftrightarrow 1\leq l\leq m,　n\leq m\leq28-n これを満たす(l,m,n)(l,m,n) は ∑m=114m(29−2m)\displaystyle\sum_{m=1}^{14}m(29-2m) だけある．
  • 後者の場合，条件は次の通り． 12≤l−12≤m−12≤n−12,　m+n−1≤28⟺1≤l≤m,　n≤m≤29−n\frac{1}{2}\leq l-\frac{1}{2}\leq m-\frac{1}{2}\leq n-\frac{1}{2},　m+n-1\leq28\Longleftrightarrow 1\leq l\leq m,　n\leq m\leq29-n これを満たす (l,m,n)(l,m,n) は ∑m=114m(30−2m)\displaystyle\sum_{m=1}^{14}m(30-2m) だけある．

したがって条件を満たす (a,b,c)(a,b,c) の組の数は ∑m=114m(29−2m)+∑m=114m(30−2m)=∑m=114(59m−4m2)=2135.\displaystyle\sum_{m=1}^{14}m(29-2m)+\sum_{m=1}^{14}m(30-2m)=\sum_{m=1}^{14}(59m-4m^2)=\bf{2135}.