OMC187(F)

　$n$ を $2 \leq n \leq 10000$ なる整数とする． $\sigma (n) \geq n + 1$ であり，また，以下 $3$ つの事実が成り立つ．

• $n$ が素数のとき，$\sigma (n) = n + 1$
• $n$ が素数の平方のとき，$\sigma (n) = n + \sqrt{n} + 1$
• $n$ が正の約数を $4$ つ以上もつとき，$\sigma (n) \gt n + 2 \sqrt{n} + 1$

なお，上から $3$ 番目の事実は，$ab = n$ かつ $1 \lt a \lt b \lt n$ を満たす $n$ の約数 $a, b$ を選ぶことで，相加平均・相乗平均の大小関係によって次のように示すことができる． $$\sigma (n) \geq 1 + a + b + n \gt 1 + 2 \sqrt{ab} + n = n + 2 \sqrt{n} + 1$$ 上の三つを用いれば，以下の場合分けから求める最小値は $\dfrac{8012}{7921}$ と分かるので，特に解答すべき値は $\bf{15933}$ である．

• $n$ が素数の場合
  　$\dfrac{\sigma( \sigma (2))}{2} = 2$ が確かめられ，$n \geq 3$ だとすると少なくとも $1, \dfrac{n + 1}{2}, n + 1$ の $3$ つが $n + 1$ の約数であることに注意すれば， $$\sigma (\sigma (n)) = \sigma (n + 1) \geq \dfrac{3n + 5}{2}$$ が得られる．したがってこの場合 $\dfrac{\sigma( \sigma (n))}{n} \gt \dfrac{3}{2}$ である．
• $n$ が素数の平方の場合
  $$\sigma (\sigma (97^2)) = \sigma(9507) = 1 + 3 + 3169 + 9507 = 12680$$ より $\dfrac{\sigma( \sigma (97^2))}{97^2} = \dfrac{12680}{9409}$ であり，$8011$ が素数であることに注意すれば， $$\sigma (\sigma (89^2)) = \sigma(8011) = 8012$$ より $\dfrac{\sigma( \sigma (89^2))}{89^2} = \dfrac{8012}{7921}$ が得られる．$n \lt 89^2$ だとすれば $$\dfrac{\sigma( \sigma (n))}{n} = \dfrac{\sigma (n + \sqrt{n} + 1)}{n} \geq \dfrac{n + \sqrt{n} + 2}{n} = 1 + \dfrac{1}{\sqrt{n}} + \dfrac{2}{n} \gt 1 + \dfrac{1}{\sqrt{89^2}} + \dfrac{2}{89^2} = \dfrac{8012}{7921}$$ が成り立つ．したがってこの場合 $\dfrac{\sigma( \sigma (n))}{n}$ は $n = 89^2$ のときに最小値 $\dfrac{8012}{7921}$ をとる．
• $n$ が正の約数を $4$ つ以上もつ場合 $$\dfrac{\sigma( \sigma (n))}{n} \geq \dfrac{\sigma(n) + 1}{n} \gt \dfrac{n + 2 \sqrt{n} + 2}{n} = 1 + \dfrac{2}{\sqrt{n}} + \dfrac{2}{n} \geq 1 + \dfrac{2}{\sqrt{10000}} + \dfrac{2}{10000} = \dfrac{5101}{5000}$$ なので，これより $\dfrac{\sigma( \sigma (n))}{n} \gt \dfrac{8012}{7921}$ であることが分かる．