OMC187(E)

　$P, Q, R, S, T$ がこの順に $1$ 回ずつ碁石をとっていくことをターンと呼ぶことにする．一人が碁石を取ると正方形の一辺は $2$ だけ小さくなるので, $n\times n$ の碁石が並んだ状態から $1$ つのターンのうちに，$P$ と $Q$ の取り去った碁石の数の差は $n\geq 4$ のとき $8$ , $n=3$ のとき $7$ , $n=2$ のとき $4$ , $n=1$ のとき $1$ である．
　$999=8\times124+7$ に注意すると，$124$ ターンを終えたあと，$P, Q$ が $1$ 回ずつ碁石を取り去って終わるとわかる．$Q$ が取り去った碁石の数については，最後は $1$ 個で，$124$ ターン目には $40$ 個，$123$ ターン目には $80$ 個というように $40$ ずつ変化するから，それらの総和は $$1+40\times{\displaystyle\sum_{k=1}^{124}k}=\mathbf{310001}.$$