OMC183(F)

　$AB=5x,RS=2x$ とおく．三角形 $APQ$ の垂心を $H$，その外接円の中心を $O$，線分 $PQ$ の中点を $M$，$PO$ と外接円との交点を $T(\neq P)$，$AB$ と $PQ$ の交点を $U$ とする．$P, Q, R, S$ および $A, B, P, Q$ はそれぞれ共円より $\angle ASR = \angle AQP = \angle ABP$ となるから，$B, P, S, U$ は共円で $\angle AUS=\angle APB = 90^{\circ}$ となる．ゆえに四角形 $ARBS$ の面積は $\dfrac{1}{2} \times AB \times RS = 5x^2$．また，$AH=2OM=TQ=\sqrt{PT^2-PQ^2}=\sqrt{25x^2-576}$ である．三角形 $ARS$ と三角形 $APQ$ の相似比は，それらの外接円の直径の比に等しいから， $$\begin{aligned} RS:PQ=AH:AB &\Leftrightarrow 2x:24=\sqrt{25x^2-576}:5x\\ &\Leftrightarrow(5x^2)^2-720(5x^2)+82944=0\\ \end{aligned}$$ したがって，解と係数の関係より求めるべき総和は $\bf{720}$ となる(厳密には $2$ 解が問題の条件に適しているか確認しなければならない)．