OMC183(F)

$PR$ と $QS$ の交点を $H$ とすると，$H$ は三角形 $APQ$ の垂心である. $\angle PSQ=\angle PRQ=90^{\circ}$ より，$P, S, R, Q$ は共円だから，三角形 $ARS$ と $APQ$ は相似. さらに，$$\angle ASH=\angle ARH=90^{\circ},　\angle AQB=\angle APB=90^{\circ}$$ より，この相似において $H$ と $B$ は対応する. よって，$AH:RS=AB:PQ$ だから，$AB:RS=5:2$ より $AB=5x, RS=2x, AH=\dfrac{5}{12}x^2$ とおける. いま，三角形 $APQ$ の外接円を $\Gamma$，外心を $O$ とし ($O$ は明らかに線分 $AB$ の中点である)，$QO$ と三角形 $APQ$ の外接円の交点を $X$ とすると，これは $H$ を $AB$ の中点で折り返した点であるから，$$AH^2+PQ^2=XP^2+PQ^2=XQ^2=AB^2=25x^2$$ である. よって，$\dfrac{25}{144}x^4+576=25x^2$ だから，これを解いて $x^2=\dfrac{576}{5}, \dfrac{144}{5}$. いま，$HS\parallel BP, HR\parallel BQ$ より，以下が成立する. $$|RASB|=|ASHR|+|SHB|+|RHB|=|ASHR|+|SHP|+|RHQ|=|APHQ|=\dfrac{AH×BC}{2}=5x^2$$ よって，$RASB$ の面積としてありうる値の総和は $5×\left(\dfrac{576}{5}+\dfrac{144}{5}\right)=\textbf{720}$.