OMC182(D)

　$x^2f(x,y)$ は $y^2$ を因数に持ち，さらに交代式であるから $y-x$ も因数に持つ．これより $f(x,y)$ は多項式 $g(x,y)$ を用いて $y^2(y-x)g(x,y)$ と表せる．さらに $g(x,y)$ は $2$ 次の対称式であるため，実数 $a,b,c,d$ を用いて $$g(x,y)=a(x^2+y^2)+bxy+c(x+y)+d$$ と表すことができる．このとき $f(x,y)$ の $y^5,xy^4,y^4$ の係数はそれぞれ $a,b-a,c$ であるから，問の条件と合わせて $a=1,b=c=3$ を得る．また $g(2,3)=111$ が分かるから $d=65$ である．
　以上より， $$f(x,y)=y^2(y-x)(x^2+y^2+3xy+3x+3y+65)$$ であるから，求める答えは $f(5, 7) = \mathbf{27440}$ である．