OMC182(E)

　$∠BDC=∠BEC=90^\circ$ より $4$ 点 $B,C,D,E$ は同一円周上にあるから，$∠DBE=∠DCE$ である．ゆえに $∠DFB=∠CGE$ であるから，$4$ 点 $D,E,F,G$ は同一円周上にあり，$P$ はこの円の中心である．よって， $$\begin{aligned}∠BPC&=∠BAC+∠ABP+∠ACP\\ &=∠BAC+\frac{1}{2}∠ABD+\frac{1}{2}∠ACE\\ &=∠BAD+∠ABD\\ &=90^\circ \end{aligned}$$ となり，$P$ は線分 $BC$ を直径とする円周上にある．これより $BC=2PQ=40$ である．また $∠ABD=\dfrac{1}{2}∠EQD$ となるから， $$\sin∠BAC=\sin∠QED=\frac{\sqrt{20^2-\left( \dfrac{9}{2} \right)^2}}{20}=\frac{\sqrt{1519}}{40}$$ となる．よって，正弦定理より三角形 $ABC$ の外接円の半径は $\dfrac{BC}{2\sin∠BAC}=\dfrac{800}{\sqrt{1519}}$ であり，解答すべき値は $800^2 + 1519 = \bm{641519}$ である．

　なお，問題文で与えられている $AQ = 23$ の条件は，この問題を解答するにあたっては必要ない．