OMC180(E)

点数: 700

Writer: simasima

　 $1$ 以上 $36$ 以下の整数からなる数列 $b_1, b_2, \ldots, b_{35}$ と $c_1, c_2, \ldots, c_{35}$ は次の条件をみたします：

• $36$ 個の実数 $(a_1,a_2, \ldots,a_{36})$ を変数とする連立方程式 $$a_{b_1}+a_{c_1}=1, \quad a_{b_2}+a_{c_2}=2 ,\quad \ldots,\quad a_{b_{35}}+a_{c_{35}}=35,\quad a_{x}-a_{y}=36$$ が一意に解をもつような，$1$ 以上 $36$ 以下の整数の組 $(x,y)$ がちょうど $736$ 個存在する．

　いま，$36$ 個の実数 $(s_1,s_2, \ldots,s_{36})$ を変数とする連立方程式 $$s_{b_1}+s_{c_1}=1, \quad s_{b_2}+s_{c_2}=2 ,\quad \ldots,\quad s_{b_{35}}+s_{c_{35}}=35$$ において，$s_t$ の値が一意に定まるような $t$ $(1\leq t\leq36)$ はちょうど $M$ 個存在しました．$M$ としてありうる正整数値すべての $3$ 乗和を求めてください．